Head

 

 

Hoc Toan (Index)

:: Bài 48: (Điểm SCHIFFLER của tam giác)

Trong quá trình tự tìm tòi về các loại điểm đặc bíệt trong tam giác tôi bắt gặp một số tính chất về điểm Schiffler của tam giác. Tôi cảm thấy rất tâm đắc với các tính chất này. Tuy nhiên, có một điểm tôi cảm thấy không thật sự vừa ý là các tính chất và định lí được phát biểu một cách rất đơn giản nhưng các cách chứng minh lại phải sử dụng đến công cụ tâm tỉ cự, phương pháp tọa độ - một phương pháp hiện đại nhưng không tiện dụng đối với học sinh kể cả học sinh giỏi. Mong muốn trình bày vấn đề cho trong sáng hơn đã thôi thúc tôi đi tìm lời giải sơ cấp hơn, "đẹp mắt" hơn cho bài toán. Đến nay tôi đã thu được những kết quả nhất định xin được trình bày cùng bạn đọc trong bài viết này.

Lê Đức Thịnh (GV THPT NK Trần Phú, Hải Phòng)

Ta bắt đầu bằng bài toán sau về định nghĩa điểm Schiffler của tam giác:


Bài toán 1. Giả sử I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó bốn đường thẳng Euler (*) của tam giác BIC, CIA, AIB, ABC đồng quy tại một điểm S gọi là điểm Schiffler (**) của tam giác ABC.

(*) http://agutie.homestead.com/files/center/nine_point_center_euler.html

(**) http://mathworld.wolfram.com/SchifflerPoint.html


CHỨNG MINH


Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, G là trọng tâm tam giác, M là trung điểm BC, G' là trọng tâm tam giác BIC, AI cắt BC tại D, cắt đường tròn (O) tại J, đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh BC tại K, JG' cắt OG tại S, cắt AM tại E (h.1).

Rõ ràng J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC. Do đó JG' là đường thẳng Euler của tam giác BIC.


Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác GOM với cát tuyến SEJ, ta có:

SG/SO . JO/JM . EM/EG = 1. Suy ra:

SG/SO = JM/JO . EG/EM = JM/R . EG/EM

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).


Sử dụng định lý Menelauss cho tam giác IAM với cát tuyến JG'E, ta có:

JI/JA . EA/EM . G'M/G'I = 1. Do G' là trọng tâm tam giác BIC nên:

EA/EM = 2.JA/JI = 2.JA/JB = 2.JB/JD = 2.JI/JD

(do JI2 = JB2 = JA . JD). Do đó:

EG/EM = GM/EM - 1 = 1/3 . AM/EM - 1

            = 1/3 . [EA/EM + 1] - 1 = 1/3 . EA/EM - 2/3

            = 2/3 . JI/JD - 2/3 = 2/3 . ID/JD = 2/3 . IK/JM = 2/3 . r/JM

(r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

SG/SO = JM/R . EG/EM = JM/R . 2/3 . r/JM = 2/3 . r/R  (1)


Tương tự, ta thấy các đường thẳng Euler của các tam giác CIA, AIB cũng cắt OG tại S (xác định bởi hệ thức (1)).

Vậy các đường thẳng Euler của bốn tam giác ABC, BIC, CIA, AIB đồng quy tại S.


*


Một tính chất khác của điểm Schiffler được mô tả trong bài toán sau:


Bài toán 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I1, I2, I3 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với các góc A, B, C của tam giác. A1, B1, C1 tương ứng là giao điểm của các cặp đường (OI1, BC), (OI2, CA), (OI3, AB). Khi đó các đường thẳng AA1, BB1,CC1 đồng quy tại điểm Schiffler S của tam giác ABC (h.2).


CHỨNG MINH


Ta chứng minh A, S, A1 thẳng hàng. Thật vậy:

   sinAJG'/sinOJG' . sinJOG/sinAOG . sinOAA1/sinJAA1

= sinIJG'/sinMJG' . sinMOG/sinAOG . sinOAA1/sinI1AA1

 

   2SIJG' / IJ.JG'      2SMOG/MO.OG    2SOAA1/OA.AA1

= --------------------  .  ----------------------  .  -----------------------

   2SMJG'/MJ.JG'    2SAOG/AO.OG     2SI1AA1/I1A.AA1

 

= 2MJ/IJ . AO/2OM . OA1/I1A1 . I1A/OA

= 2MJ/BJ . BO/2OM . OM/I1P . I1P/OAsinA/2

=2sinA/2 [1/(2sinA/2)] = 1.

Do đó theo định lý Ceva dạng lượng giác trong tam giác AOJ, suy ra AA1, OG, JG' đồng quy.

Tức là AA1 đi qua S. Tương tự, ta kết luận rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại S.


Như vậy từ hai bài toán trên ta thu được điểm Schiffler S của tam giác ABC là điểm đồng quy của 7 đường thẳng, gồm có: 4 đường thẳng Euler của tam giác BIC, CIA, AIB, ABC và 3 đường thẳng AA1, BB1, CC1.


*


Bây giờ ta hãy theo dõi một cách mô tả khác của điểm Schiffler được nêu trong bài toán:


Bài toán 3. Giả sử đường tròn bàng tiếp ứng với góc A của tam giác ABC tiếp xúc với các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. Gọi A'' là điểm đối xứng của A' qua B'C'. Tương tự ta định nghĩa điểm B", C". Khi đó AA", BB", CC" đồng quy tại điểm Schiffler S của tam giác ABC.


CHỨNG MINH


Bổ đề 1. Với các kí hiệu như ở bài toán 1 thì OI1 là đường thẳng Euler của tam giác A'B'C'.

Chứng minh: Dựng các đường thẳng qua A và song song B'C', qua B và song song C'A', qua C và song song A'B'. Các đường này cắt nhau tạo ra tam giác DEF (h.3). Ta có:

AI1 B'C' ==> AI1 EF, BI1 A'C' ==> BI1 DE.

Do đó I1 là trực tâm tam giác DEF. Nhận thấy O là tâm đường tròn Euler của tam giác DEF. Nên OI1 là đường thẳng Euler của tam giác DEF. Mà đường thẳng Euler của hai tam giác A'B'C' và DEF cùng phương, và đều đi qua I1 nên OI1 cũng là đường thẳng Euler của tam giác A'B'C' (đpcm).


Bổ đề 2. Ba điểm A, A1, A" thẳng hàng.

Chứng minh: (h. 4) Theo bổ đề 1, nếu gọi H' là giao điểm của OI1 và A'A" thì H' là trực tâm tam giác A'B'C'.

Gọi I là chân đường phân giác hạ từ A xuống BC.

Ta có: II1/IA = ra/ha = a/(b+c-a)    (2)

(trong đó ra, ha tương ứng là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh A, độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC; a = BC, b = AC, c = AB). Mặt khác:

A'H'/A'A" = (A'H'.B'C')/(A'A".B'C')

= (- 2ra.cosA'.2ra.sinA')/4SA'B'C'

= - 2ra2.sin2A' / 8ra2.sinA'.sinB'.sinC'

= - 2sin2A' / (sin2A' + sin2B' + sin2C').

Hơn nữa:

B' = A'C'A = C/2, C' = A'B'A = B/2,

suy ra: A' = 180o - B' - C' = 90o + A/2.

Do đó: A'H'/A'A" = sinA / (-sinA + sinB + sinC) = a/(b+c-a)   (3)


Từ (2) và (3) suy ra II1/IA = A'H'/A'A".

Vậy A, A1, A" thẳng hàng.

Rõ ràng theo bổ đề 2 và kết quả bài toán 2 thì bài toán 3 được chứng minh.


Qua chứng minh trên ta thấy rằng bài toán 3 là một bài toán khó và lời giải của nó vẫn phải dùng đến kết quả của bài toán 2. Hi vọng rằng bạn đọc có thể đưa ra một lời giải đẹp hơn nữa cho bài toán 3. Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn để hoàn chỉnh hơn nữa bài viết này.


Lê Đức Thịnh

(Toán Học & Tuổi Trẻ số 365, tháng 11 2007)

:: Bài Kỳ Sau:

Bài 49:


Trên đường tròn tâm O bán kính R lấy 6 điểm D, E, F, G, H, K theo thứ tự, sao cho DE = FG = HK = R. Các đường thẳng KD cắt EF tại A, EF cắt GH tại B, GH cắt KD tại C. Chứng minh: OA . BC = OB . CA = OC . AB.


:: Toán Quốc Tế:

(Hình Học)


IMO năm: 10, 08, 07, 06, 05, 04, 03, 02, 01, 00, 97, 87, 85, 75, 65


Các đề thi (bắt đầu lần thứ nhất):

http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1959

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/IMO_Problems_and_Solutions

http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/www.kalva.demon.co.uk/imo.html


:: Đố Vui (22):

The Guido Mosaics Puzzle (by Sam Loyd)

Cut the mosaic into parts which will form two squares.


It is not generally known that the celebrated piece of Venetian mosaic by Domenichino, known as the Guiđo collection of Roman heads, was originally divided into two square groups, discovered at different periods. They were brought together and restored to what is supposed to be their correct form, in 1671. Apparently by accident it was discovered that each of the two squares consisted of pieces which would fit together into one 5 x 5 piece as shown.

It is a pretty puzzle, and as many puzzles, like mathematical propositions, can be worked backward to advantage at times, we will reverse the problem and ask you to divide the large square into the fewest number of pieces which can be refitted into two squares.

This puzzle differs from the Pythagorean principle of cutting lines on the bias. We know that two squares can be divided by diagonal lines to produce one larger square, and vice versa, but in this puzzle we must cut on the lines only, so as not to destroy the heads. It may also be mentioned, incidentally, that students who have mastered the Pythagorean problem will not find much difficulty in discovering how many heads there must be in the smaller squares.

Problems of this kind, which call for the "best" answer in the "fewest number of pieces," offer great scope for cleverness. In this problem the best solution does not destroy any heads or turn any of them upside down. (Mathematical Puzzles of SAM LOYD, Martin Gardner)


GIẢI ĐÁP ĐỐ VUI KỲ TRƯỚC:

Đố Vui (21) How old is the mother? (by Sam Loyd)


The mother's age is 29 years and 2 months. Tommy's age is 5 years and 10 months, and the father is 35 years old.


ĐỐ VUI CÁC KỲ TRƯỚC





Biên tập :T. V. Phê (phevtran@hotmail.com), Nguyễn Tin (tinnguyen29@hotmail.com)

 

 

Bai Doc Them & Bai Tap Hinh

 

 

Bài Đọc Thêm

 

Việc Thành Lập Hệ Thống Thái Dương

(Trần Hồng Văn)

Thiên Chúa không chơi xúc xắc. Một sai lầm của Einstein (Nguyễn Hoài Vân)

Thuyết Tương Đối Tổng Quát đã được 100 năm (Nguyễn Hoài Vân)

Về Với Vũ Trụ Khác (Trần Hồng Văn)

Albert Einstein, Nhà Bác Học Tị Nạn Chính Trị (Trà Nguyễn)

Câu Chuyện Về Charles Darwin Và Thuyết Tiến Hóa (Trần Hồng Văn)

Câu Chuyện Về Chất Phản Vật Chất (Trần Hồng Văn)

Thời Gian (Hoàng Dung)

Con số 5 (Nguyễn Xuân Vinh)

Toán học (Hoàng Xuân Hãn)

Con ong giỏi toán (Hoàng Xuân Hãn)

Tôi và Toán học (Nguyễn Xuân Vinh)

Định lý Fermat đã được làm sáng tỏ? (Hoàng Vũ)

Ông Vua Toán Học (Thu Giang)

Hàn Tín Điểm Binh (Hoàng Xuân Hãn)

Lý Luận Thường Và Lý Luận Khoa Học

(Hoàng Xuân Hãn)

Bourbaki, Nhà Toán Học Của Thế Kỷ Hai Mươi (Nguyễn Xuân Vinh)

 

Hình Học (Bài Học)

 

Bất đẳng thức

Hình bình hành

Tứ giác

Điểm và đường thẳng

Tóm tắt định lý

 

Hình Học (Bài Tập)

 

Bài 1 - 25,   Bài 26 - 50,  Bài IOM

 

Anh Ngữ

 

   - Anh Ngữ Hàn Lâm:

 

Run-On-Sentence (Câu Chạy tuốt luốt)

(Đàm Trung Pháp)

Fragment (Câu Cụt) (Đàm Trung Pháp)

Tản Đà Nguyễn Khắc Hiếu And His Poem “Thề Non Nước” (Đàm Trung Pháp)

Biện Pháp Tu Từ “LIKE” (Đàm Trung Pháp)

Những Từ Viết Giống Nhau, Đọc Khác Nhau, Nghĩa Khác Nhau (Đàm Trung Pháp)

Những Từ “Đồng Âm Dị Nghĩa” (Đàm Trung Pháp)

 

   - Thành Ngữ Tiếng Anh:

 

Thành Ngữ Tiếng Anh Kỳ 14 – [311-335]

(Đàm Trung Pháp)

 

Đố Vui

 

 

Link
 

Liên Kết

IMO
Wolfram MathWorld
The Math Forum
Related Materials
Komal
MathLinks
Cut-The-Knot

   Từ Điển Anh Việt

 

    

 


 

 

© Hoc Xá 2002

© Hoc Xá 2002 (T.V. Phê - phevtran@gmail.com)