22-5-2011 | KHOA HỌC

Giải Bài Tập Hình Học từ 1 đến 10

  T. V. PHÊ & NGUYỄN TIN

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

:: Bài 1

Trong hình vuông ABCD chọn một điểm M sao cho MAB là tam giác cân có góc đáy MAB=MBA=15^o. Chứng minh MDC là tam giác đều. (GT: AB=BC=CD=DA= a, MA=MB, MAB = MBA = 15^o, KL: MDC đều)

BÀI GIẢI

a) Phương Pháp Hình Học:

Chọn một điểm P trên đường trung trực chung của AB và CD (đường thẳng xy), sao cho PAB là một tam giác đều (PA=PB=AB= a). Ta sẽ có PAB = 60^o và APM=30^o

PAM = PAB + MAB = 60^o + 15^o = 75^o  

DAM = DAB - MAB = 90^o - 15^o = 75^o

==> PAM = DAM (1)

Hai tam giác PAM và DAM có hai cạnh bằng nhau (cạnh chung AM và AP=AD) kèm giữa một góc bằng nhau (1), vậy chúng bằng nhau. Suy ra: ADM = APM = 30^o ==> MDC = 60^o.

Tam giác cân MDC có một góc bằng 60^o (MDC), nên là tam giác đều.

b) Phương Pháp Lượng Giác:

Áp dụng công thức cộng hàm Lượng giác:

tan(a-b) = (tan a - tan b) / (1+ tan a . tan b) để tính tan15^o: 

tan15^o = tan(60^o - 45^o) = (tan60^o - tan45^o) / (1 + tan60^o. tan45^o) =

(-1) / (1+ .1) = (-1).(-1) / (+1).(-1) =

(-1)² /² -1² = (3+1-2) / 2 = 2 -

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông MEB, ta có: tan(MBE) = EM / EB            

==> EM = tan(MBE) . EB

Vậy EM = tan15^o. a/2 = (2-) . a/2 = a(2-) / 2

Tương tự, ta có tan(MDF) = MF / FD = (EF - EM) / FD =

[a - a(2 - )/2] / a/2 = [2a - a(2-)] / a = (2a-2a+a) / a =

Vậy MDF = 60^o ==> MDC đều.

:: Bài 2

Cho 2 đoạn thẳng bất kỳ bằng nhau: AB = CD. Gọi N là trung điểm của BC và M là trung điểm của AD. Ðường AB cắt MN tại E và cắt CD tại F. Ðường CD cắt MN tại G. Chứng minh tam giác EFG cân tại đỉnh F.  (GT: AB = CD, MA = MC, NB = ND, KL: FE = FG)

BÀI GIẢI

Vẽ thêm 2 hình bình hành ABNK và DCNL. 

Ta có: AK = DL (= BN = CN)

AK // DL (// BC)

Tứ giác AKDL có hai cạnh đối diện AK & DL vừa song song vừa bằng nhau, vậy là hình bình hành. Do đó hai đường chéo AD & KL của chúng phải cắt nhau tại trung điểm M.

Tam giác KNL cân (NK = NL = AB = CD) nên đường trung tuyến NM cũng là đường phân giác.

Suy ra: N1 = N2 (1)

Ta có: N1 = E1 (góc đồng vị)

N2 = G (góc đồng vị)

Từ (1) ==> E1 = G   Vì E1 = E2 (góc đối đỉnh) ==> E2 = G

Vậy tam giác EFG cân.

:: Bài 3

Cho hình bình hành ABCD và bên trong là hình bình hành A'B'C'D'. M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC', DD'. Chứng minh MNPQ cũng là một hình bình hành.

BÀI GIẢI

Kẻ thêm 2 đường thẳng AB' và CD'. Gọi M', P' lần lượt là trung điểm của AB' và CD'.

Ta có: MM' // = 1/2 A'B'  (*)

PP' // = 1/2 D'C' .

Vì A'B' = D'C' (cạnh của hình bình hành A'B'C' D') nên MM' //= PP'.

Vậy tứ giác MM'PP' là hình bình hành, hai đường chéo MP, M'P' của chúng phải cắt nhau tại trung điểm (1).

Tương tự như trên, ta có:

M'N // = 1/2 AB

P'Q // = 1/2 CD .

Vì AB = CD (cạnh của hình bình hành ABCD) nên M'N // = P'Q.

Vậy tứ giác M'NP'Q là hình bình hành, hai đường chéo M'P', NQ của chúng phải cắt nhau tại trung điểm (2).

Từ (1) và (2) suy ra I là trung điểm chung cuả 3 đoạn thẳng MP, M'P', NQ.

Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ giao nhau tại trung điểm nên là một hình bình hành.

(*) Xin xem Ðịnh lý 8 trong phần Các Ðịnh Lý về Hình Bình Hành

:: Bài 4

Cho tam giác đều ABC. Ðường AQ bất kỳ (điểm Q nằm trên BC) cắt vòng tròn ngoại tiếp tại P.    Chứng minh:  1 / PB + 1 / PC = 1 / PQ

BÀI GIẢI

Kéo dài CP một đoạn PN = PB. Tam giác cân BPN có BPN = 60o (chắn cung BC) nên cũng là tam giác đều. Suy ra PQ // NB và PQC đồng dạng với NBC. Ta có hệ thức đồng dạng: PQ / NB = PC / NC (1) 

Vì NB = PB ( BPN đều) và NC = NP + PC = PB + PC, nên hệ thức (1) trở thành: 

PQ / PB = PC / (PB+PC)

PQ (PB + PC) = PB . PC

PQ . PC + PQ . PB = PB . PC (2)

Chia 2 vế của hệ thức (2) cho PB . PC . PQ, ta được:

1 / PB + 1 / PC = 1 / PQ

:: Bài 5

Cho hai vòng tròn cắt nhau tại B và D và một cát tuyến ABC bất kỳ. Gọi:

M là trung điểm đoạn AC.

K là trung điểm cung AD 

N là trung điểm cung CD (cung AD & CD nằm về phía không chứa điểm B). 

Chứng Minh: KM thẳng góc với NM.

BÀI GIẢI

Kéo dài KM một đoạn ML = MK, đoạn NM sẽ là trung tuyến của tam giác KNL. Nếu ta chứng minh được tam giác KNL cân thì trung tuyến NM cũng chính là đường cao của tam giác này. Và như thế KM sẽ thẳng góc với NM. 

Thật vậy, vì M là trung điểm của hai đường chéo AC và KL nên tứ giác AKCL là hình bình hành.

Suy ra:

LC // KA ==>xAB=LCy (góc đồng vị),

LC = KA ==> LC = KD (1)

Theo giả thiết: N là trung điểm cung CD nên: NC=ND   (2)

Xét hai góc KDN và LCN,

KDN = BDN+KDB, vì BDN=yCN (cùng chắn cung BN) và KDB = xAB (cùng chắn cung BK) = LCy

Vậy KDN = yCN + LCy = LCN (3)

Hai tam giác KDN và LCN có hai cạnh bằng nhau (1&2), kèm giữa một góc bằng nhau (3). Vậy chúng bằng nhau. Suy ra KN = LN ==> tam giác KNL cân.

Do đó:   KM NM

:: Bài 6

Cho tam giác cân ABC: A = 20o, AD = BC. Tính DCA?

BÀI GIẢI

Vẽ thêm tam giác cân AED với góc ở đỉnh E = 20^o, ta sẽ có:

ADE = DAE = (180^o - 20^o) / 2 = 80^o. 

Vậy CAE = DAE - DAC = 80^o - 20^o = 60^o

==> CAE là tam giác đều.

Suy ra: AEC = 60^o ==> DEC = 40^o,

EC = EA = ED ==> DEC cân,

vậy DCE = CDE = (180^o- 40^o)/2 =70^o.   

DCA = DCE - ACE = 70^o - 60^o,

==>   DCA = 10^o

Cách Giải Khác:

Vẽ thêm tam giác đều AED.

Xét hai tam giác EAC và BCA, chúng có: 

EAC = BCA (= 80^o)

EA = BC

cạnh AC chung,

nên chúng bằng nhau, suy ra CE = AB = CA ==> ECA cân.

Vậy CD chính là đường phân giác của ECA, ==> DCA = 10^o

:: Bài 7

Cho hình bình hành ABCD. Từ D và B, kẻ hai đường thẳng tạo với DC và BC hai góc bằng nhau (PDC = PBC). Chứng minh DPA = BPC.

BÀI GIẢI

Vẽ thêm hình bình hành BQPC, ta sẽ có:

1) = PBC (góc so le trong) (1)

2) QP //= BC //= AD nên AQPD cũng là hình bình hành ==> AQ // DP,

suy ra QAB = PDC = PBC (2)

Từ (1) và (2) ta có: = QAB, vậy tứ giác ABQP nội tiếp trong một vòng tròn. Do đó:

+ = AQB (chắn cung AB)

+ = DPC = AQB (góc có 2 cặp cạnh song song)

==>  = ==> DPA = BPC

:: Bài 8

Cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh A = 20^o. Vẽ những đường thẳng bên trong tam giác tạo thành các góc sau: DBC = 60^o , ECB = 50^o . Tính góc EDB ?

BÀI GIẢI

Trong tam giác ABC, vẽ đường thẳng BF = BC. Ta sẽ có:

FBC = 20^o, FBE = 60^o, BEC = 50^o.

Vậy EBC cân ==> EB = BC = BF ===> EBF cân. 

Tam giác cân EBF có một góc bằng 60^o (FBE), nên là tam giác đều

==> BF = FE (1).

BFD có FBD = FDB = 40^o nên là tam giác cân

==> BF = FD (2).

Từ (1) và (2) ta có EFD cũng cân. Tam giác này có góc ở đỉnh là: EFD = 180^o - (EFB + BFC) = 180^o - (60^o + 80^o) = 40^o  

Vậy góc đáy EDF của chúng = 70^o, suy ra EDB = 30^o.

:: Bài 9

I là trung điểm dây cung AB của vòng tròn (O). Qua I, vẽ hai dây cung bất kỳ CD và EF. CF và ED cắt AB tại M và N. Chứng Minh: IM = IN.

BÀI GIẢI

Hai tam giác FIC và DIE đồng dạng vì có hai góc bằng nhau từng đôi một (F = D, C = E). Ta được tỷ lệ thức: 

FI/DI = FC/DE (1)

Kẻ hai đường trung tuyến IK và IL, xét hai tam giác FIK và DIL, chúng có: 

F = D

Từ (1) và từ tính chất đường trung tuyến ta cũng có:            

FI /DI =  2FK/2DL = FK/DL

Vậy chúng đồng dạng, suy ra: 

K1 = L1 (2)

Nối tâm O đến trung điểm các dây cung AB, FC, DE, ta có:

OI AB, OK FC, OL DE.

Suy ra hai tứ giác OIMK và OINL nội tiếp trong hai vòng tròn. Vậy: K1 = O1 (cùng chắn cung IM của vòng ngoại tiếp tứ giác OIMK)

L1 = O2 (cùng chắn cung IN của vòng ngoại tiếp tứ giác OINL)

So sánh với (2) ta được O1 = O2, nên OI cũng chính là đường phân giác của MON. 

Trong MON, OI vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vậy OI cũng là đường trung tuyến, do đó: IM = IN.

:: Bài 10

I là trung điểm dây cung AB của vòng tròn (O). Qua I, vẽ hai dây cung bất kỳ CD và EF. EC và FD cắt AB tại M và N. Chứng Minh: IM = IN.

BÀI GIẢI

1) Phương Pháp Hình Học:

Tương tự như bài kỳ trước ta có hai tam giác FID & CIE đồng dạng ==>  FIK ~ CIL

==> FKI = MLI.

Cũng từ hai tứ giác OIKN & OIML nội tiếp trong hai vòng tròn nên ta có: FKI = ION, MLI = IOM. Suy ra: IOM = ION.

Do đó:  IM = IN

2) Phương Pháp Ðại Số:

Ðặt IA = IB = a, IM = y, IN = x, MQ = y1, MP = y2, NS = x1, NR = x2.

Hai tam giác vuông NSF và MPC có F = C nên đồng dạng, ta có:

NS/MP = NF/MC  ==> x1 / y2 = NF/MC    

Hai tam giác vuông NRD và MQE có D = E nên đồng dạng, ta có:

NR/MQ = ND/ME ==> x2 / y1 = ND/ME       Vậy: (x1.x2)/(y1.y2)=(NF.ND)/(MC.ME) (1)

Ta cũng có: NSI ~ MQI

==> NS/MQ = NI/MI  ==> x1 / y1 = x / y

NRI ~ MPI

==> NR/MP = NI/MI ==> x2 / y2 = x / y

Vậy: (x1.x2) / (y1.y2) = x² / y² (2)                                         

Từ (1&2) suy ra: x²/y² = (NF.ND)/(MC.ME) = (NA.NB)/(MA.MB)

= [(x+a).(x-a)] / [(y-a).(y+a)] = (x²-a²)/(y²-a²)

==> x²(y² - a²) = y² (x² - a²)

==>  x²y² - x²a² = y²x² - y² a²

==>  x² = y²

 ==> x = y     Do đó:     IM = IN

T. V. Phê & Nguyễn Tin