24-7-2011 | KHOA HỌC

Giải Đề Thi Toán Quốc Tế (Hình Học) các năm 2000 ... 2004

  HỌC XÁ

    2000 (IMO 41th)   2001 (IMO 42th)    2002 (IMO 43th)    2003 (IMO 44th)    2004 (IMO 45th)

:: IMO 41^th (2000, Korea)

(http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2000)

Cho hai vòng tròn cắt nhau tại M và N với AB là tiếp tuyến chung gần điểm M. Qua M vẽ một cát tuyến song song với AB cắt hai vòng trên tại C và D. AN và BN cắt CD tại P và Q; CA và DB giao nhau tại E. Chứng Minh: PE = QE.

(AB is tangent to the circles CAMN and NMBD. M lies between C and D on the line CD, and CD is parallel to AB. The chords NA and CM meet at P; the chords NB and MD meet at Q. The rays CA and DB meet at E. Prove that PE = QE).

BÀI GIẢI

AB // CD (theo giả thiết) nên EBA = EDC (góc đồng vị) (1)

AB là tiếp tuyến với vòng nên ABM = BDM (cùng chắn cung BM) (2).

Từ (1) và (2) cho: EBA = ABM

Cũng chứng minh tương tự, ta có: EAB = BAM. Do vậy EAB = MAB ==> AE = AM ==> EAJ = MAJ ==> AJE = AJM, suy ra EM AB ==> EM PQ (3)

IA là tiếp tuyến của vòng và IB là tiếp tuyến của vòng nên ta có: IA² = IM . IN = IB² ==> IA = IB ==> MP = MQ (vì PQ // AB)  (4)

Tam giác EPQ có EM là đường cao (3) và cũng là đường trung tuyến (4), vậy là tam giác cân; suy ra: PE = QE 

:: IMO 42^th (2001, United States of America)

(http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2001)

Tam giác ABC có 3 góc nhọn. O là tâm vòng tròn ngoại tiếp. P là chân đường cao kẻ từ A xuống BC. Cho BCA ABC + 30^o. Chứng minh: CAB + COP < 90^o.

(Let ABC be an acute-angled triangle with circumcenter O. Let P on BC be the foot of the altitude from A. Suppose that BCA ABC + 30^o. Prove that CAB + COP < 90^o).

BÀI GIẢI

Từ A vẽ đoạn thẳng song song với BC cắt vòng tròn tại D, vậy ADBC là hình thang cân có hai góc đáy bằng nhau: C = ABC + ABD

Vì  C ABC + 30^o (theo giả thiiết)

nên ABC + ABD ABC + 30^o ==> ABD 30^o ==> AOD 60^o ==> DA R (bán kính vòng O).

Gọi I, J là trung điểm của AD và BC, ta có: IA = JP R/2.

Trong một tam giác vuông, đường huyền dài hơn mỗi cạnh nên OP > JP R/2 (1). Cũng vậy, trong tam giác vuông OJC ta có JC < OC ==> JC < R.

Ðể ý hiệu số JC - JP . Theo kết quả tính ở trên: giới hạn của JC là R, vậy nếu JP R/2 thì JC - JP < R/2 ==> PC < R/2 (2).

Kéo dài bán kính CO gặp vòng tròn tại E. Trong một tam giác, cạnh lớn đối diện với góc lớn và ngược lại, nên từ (1) và (2) suy ra OP > PC ==> PCO > COP ==> BAE >COP. 

Vậy nếu CAB + BAE = 90^o (góc nội tiếp trong nửa vòng O),

thì: CAB + COP < 90^o.

:: IMO 43^th (2002, United Kingdom)

(http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2002)

Cho nửa vòng tròn tâm O đường kính BC. Chọn điểm A trên nửavòng (O) sao cho AOC > 60^o. EF là trung trực của AO. D là trung điểm cung AB. Kẻ đường thẳng qua O song song với AD gặp AC tại J. Chứng minh J là tâm vòng nội tiếp của tam giác CEF.

(BC is a diameter of a circle center O. A is any point on the circle with AOC > 60^o. EF is the chord which is the perpendicular bisector of AO. D is the midpoint of the minor arc AB. The line through O parallel to AD meets AC at J. Show that J is the incenter of triangle CEF).

BÀI GIẢI

BOD = 1/2BOA (theo giả thiết)

BCA = 1/2BOA (góc ở tâm vòng tròn)

Vậy BOD = BCA ==> OD // CA.

Ta còn có: OJ // AD (theo giả thiết). 

Vậy tứ giác OJAD là hình bình hành, suy ra: AJ = OD = R. 

Theo giả thiết: EF là trung trực của OA, vậy: AF = OF = R và AE = OE = R. 

Tóm lại: AF=AJ=AE=AO=R, chứng tỏ tứ giác FJOE nội tiếp trong vòng tròn tâm A bán kính AO = R.

Theo trên ta có AF = AE = R ==> AF = AE, suy ra FCA = ACE, vậy CA là đường phân giác của góc C trong tam giác CEF.

Với vòng tròn tâm A, ta có EFJ = 1/2EAJ (góc ở tâm vòng (A)) 

Với vòng tròn tâm O, ta có EAJ = EFC ==> EFJ = 1/2EFC, vậy FJ cũng là đường phân giác của góc F trong tam giác CEF.

Kết luận: J là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác CEF, đó chính là tâm vòng tròn nội tiếp của tam giác CEF.

:: IMO 44^th (2003, Japan)

(http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2003)

Cho tứ giác nội tiếp ABCD. P, Q, R theo thứ tự là chân các đường cao từ D xuống AB, BC, CA. Chứng minh rằng RP = RQ nếu và chỉ nếu phân giác của hai góc ABC và ADC cắt nhau trên AC.

(ABCD is cyclic. The feet of the perpendicular from D to the lines AB, BC, CA are P, Q, R respectively. Show that the angle bisectors of ABC and CDA meet on the line AC iff RP = RQ). 

BÀI GIẢI

Ta có: R1 = D1 (cùng chắn cung CQ của vòng ngoại tiếp tứ giác CQDR), R2 = D2 (cùng chắn cung AP của vòng ngoại tiếp tứ giác APRD).

Vì: D1 = D2 (cùng phụ cho 2 góc bằng nhau DCQ và A), nên R1 = R2; chứng tỏ P, R, Q thẳng hàng. Ðó chính là đường thẳng Simson (*).

DAB ~ DRQ vì DAB =DCQ =DRQ và DBA = DCA = DQR

==> DA / AB = DR / RQ

DBC ~ DPR vì DBC =DAC =DPR và CDB = CAB = RDP

==> DC / BC = DR / PR

Vậy: DA/DC = [AB(DR/RQ)]/[BC(DR/PR)]= (AB/BC).PR/RQ (1)                                       

Nếu RP = RQ thì PR / RQ = 1 và (1) sẽ là: DA / DC = BA / BC. Tỷ số này chứng tỏ hai đường phân giác cuả hai góc ABC và ADC cắt nhau trên AC và ngược lại.

(*) (http://mathworld.wolfram.com/SimsonLine.html)

:: IMO 45^th (2004, Greece)

(http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2004)

1. Cho tam giác ABC với các góc nhọn và AB AC. Vòng tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Phân giác trong của góc BAC và MON gặp nhau tại R. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp của hai tam giác BMR và CNR có một điểm chung nằm trên BC.

(Let ABC be an acute-angled triangle with AB AC. The circle with diameter BC intersects the sides AB and AC at M and N respectively. Denote by O the midpoint of the side BC. The bisectors of the angles BAC and MON intersect at R. Prove that the circumcircles of the triangles BMR and CNR have a common point lying on the side BC) http://www.imo-register.org.uk/2004-report.html

BÀI GIẢI

Với vòng tròn tâm O, ta có: MNA = B (cùng chắn cung MC).

Tam giác CON cân ==> ONC = C,  vậy ONM = A = , chứng tỏ ON là tiếp tuyến của vòng tròn tâm I ngoại tiếp với AMN.

Tương tự như thế với OM nên tam giác MON cân. Theo giả thiết OR là phân giác cũng là trung trực của MON ==> MRN cân, vậy MR, NR cũng là hai đường phân giác khác của MON; Chứng tỏ R là tâm vòng tròn nội tiếp với MON. R cũng là trung điểm cung MN thuộc vòng tròn tâm I.

Hai vòng tròn tâm J và K ngoại tiếp với hai tam giác BMR và CNR có điểm chung thứ hai là P.

Ta có: AMB là trục đẳng phương của hai vòng tròn tâm J và O,

ANC là trục đẳng phương của hai vòng tròn tâm K và O,

nên ARP là trục đẳng phương của hai vòng tròn tâm J và K. 

Vậy A,R,P thẳng hàng. Tứ giác nội tiếp PRMB và PRNC cho:

RPB + RMB = RPB + B + A/2 = 180^o

RPC + RNC = RPC + C + A/2 = 180^o

==> RPB + RPC = 180^o. Vậy P phải nằm trên BC.

2. Cho tứ giác lồi ABCD với đường chép BD không phải là phân giác của góc ABC và góc CDA. Một điểm P nằm trong tứ giác sao cho: PBC = DBA, PDC = BDA. Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp nếu và chỉ nếu AP = CP.

(In a convex quadrilateral ABCD the diagonal BD does not bisect the angles ABC and CDA. The point P lies inside ABCD and satisfies PBC = DBA and PDC = BDA. Prove that ABCD is a cyclic quadrilateral if and only if AP = CP).

BÀI GIẢI

Chọn điểm P nằm trong hai tam giác ABD và ACD.  

1) Phần thuận: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì AP = CP:  

Kẻ đường thẳng BP và DP cắt AC lần lượt tại G và H. Theo giả thiết và dựa vào những góc cùng chắn cung, ta có ba tam giác BAD, BGC, CHD có hai góc bằng nhau từng đôi một nên chúng đồng dạng.

Suy ra tỷ số: GC / BC = AD / BD (1)

và BGC = CHD ==> PGH cân

==> PG = PH và AHP = CGP.

Cũng vậy, hai tam giác ADH và BDC đồng dạng, cho ta tỷ số: AH / BC = AD / BD (2).

Từ (1) và (2) ==> GC = AH 

Do đó AHP = CGP. Vậy: AP = CP.

2) Phần đảo: Nếu AP = CP thì tứ giác ABCD nội tiếp:

Vẽ vòng tròn nội tiếp BCP cắt CD và DP lần lượt tại E và F. Theo giả thiết và dựa vào những góc cùng chắn cung, ta có:   ADB ~ PDE

==> AD / BD = PD / ED (3), 

suy ra: ADP ~ BDE (ADP = BDE kèm giữa hai cặp cạnh tỷ lệ(3)),

==> AP / BE = DP / DE (4)

Ta cũng có: DCP ~ DFE 

==> CP / FE = DP / DE (5)

Từ (4) và (5) và theo giả thiết AP = CP nên: BE = FE ==> FBE = BFE.

Tứ giác nội tiếp BFEC cho ta: BFE + BCE = 180^o Thế mà BFE = FBE = EPD = BAD 

Vậy BAD + BCD = 180^o. Ðiều này chứng tỏ: Tứ giác ABCD nội tiếp. 

Kết Luận: Tứ giác ABCD nội tiếp nếu và chỉ nếu AP = CP.