22-5-2011 | KHOA HỌC

Giải Bài Tập Hình Học từ 21 đến 30

  T. V. PHÊ & NGUYỄN TIN

21   22   23   24   25   26   27   28   29   30

:: Bài 21

Cho tam giác ABC. Vòng tròn đi qua A và B cắt AC và BC tại D và E. AB và DE cắt nhau tại F. BD và CF cắt nhau tại M. Chứng minh M là trung điểm của CF nếu và chỉ nếu MB . MD = MC²

BÀI GIẢI

1) Nếu MB . MD = MC2 thì BM / MC = CM / MD ==> CMD ~ BMC ==> DCM = CBM .

Vì tứ giác ABED nội tiếp nên CBM = DAE (cùng chắn cung DE), vậy DCM = DAE.

Ðiều này chứng tỏ AE // CF ==> DFM = DEA = DBA. Do đó FMD ~ BMF ==> FM / BM = MD / MF ==> MB . MD = MF² .Vậy M là trung điểm của CF.

2) Nếu MC = MF, theo định lý Ceva trong BCF ta có: BA/AF . FM/MC . CE/EB = 1

==> BA/AF . 1 . CE/EB = 1

==> BA/AF = BE/EC

==> AE // CF ==> DFM = DEA = DBA

==> FMD ~ BMF  ==> FM / BM = MD / MF   ==> MB . MD = MF²

Vậy M là trung điểm của CF nếu và chỉ nếu MB . MD = MC².

:: Bài 22

Trong tam giác cân ABC (CA = CB), chọn một điểm P sao cho: PAB = PBC. M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: BPC + APM = 180^o

(Moldova National Olympiad 2006, http://www.mathlinks.ro/Forum/resources.php?c=114&cid=76&year=2006)

BÀI GIẢI

Vẽ hình bình hành APBD, ta có:

DAB = PBA. (1).

Theo giả thiết PAB = PBC và BAC = ABC nên PAC = PBA. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  

DAB = PAC và DAP = BAC.

Vòng tròn ngoại tiếp tam giác PBD cắt AD tại K, PBDK là hình thang cân ==> PK = PA (cùng = BD).

Vậy CAB ~ PAK ==> CA / PA = BA / KA  

==> AKB ~ APC ==> AKB = APC.

Ta có AKB + DKB = 180^o

nên APC + DPB = 180^o (vì DKB =DPB, góc cùng chắn cung DB).

Suy ra: BPC + APM = 180^o

:: Bài 23

Cho tam giác ABC. Điểm D ở trên đoạn nối dài CB về phía B sao cho BD = BA. M là trung điểm của AC. Phân giác góc ABC cắt DM tại P. Chứng minh BAP = ACB.

BÀI GIẢI

Qua điểm P, vẽ đường // với AC, cắt DA tại Y và DC tại X. Suy ra P là trung điểm của XY (vì M là trung điểm của AC).

Theo giả thiết, ABD cân và BP là phân giác ABC,ta có:

2PBX = BDA + BAD = 2BDA

==> PBX = BDA ==> BP // DY.

Vậy B là trung điểm của DX

==> BX = BD = BA, do đó ABP = XBP ==>BAP = BXP

suy ra: BAP = ACB.

:: Bài 24

Cho tam giác thường ABC với cạnh BC = a và AC = b. D, E là hai điểm trên BA và CA (hoặc trên đoạn kéo dài) sao cho BD = CE = a. F, G là hai điểm trên CB va AB (hoặc trên đoạn kéo dài) sao cho CF = AG = b. Chứng minh DE // FG.

(Triangle ABC is not isosceles nor equilateral, and has sides BC = a, AC = b. D and E are points of BA and CA or their productions so that BD = CE = a. F and G are points of CB and AB or their productions so that CF = AG = b. Show that  DE // FG. Crux Mathematicorum)

BÀI GIẢI

AB và EF cắt nhau tại S. Theo giả thiết CE = CB và CA = CF nên AE = FB và AF // EB chứng tỏ AEBF là hình thang cân, suy ra SA = SF. Vậy hai tam giác CAS và CFS bằng nhau, vì thế CS là phân giác góc ACB. 

Đường phân giác của một tam giác chia cạnh đối thành những đoạn tỷ lệ với hai cạnh kia, do vậy ta có:

ES / SF = CE / CF = a/b (1)

và BS / SA = CB / CA = a/b (2)

DS / SG = (BD - BS) / (AG - AS)

= (a - BS) / (b - AS)

vì BS / AS = a/b (theo 2)

nên DS / SG = a/b (3)

Từ (1) và (3) suy ra ES / SF= DS / SG.  Vậy DE // FG.

:: Bài 25

Cho tam giác ABC có A = 40^o và B = 60^o. Lấy điểm D và E lần lượt trên AB và AC sao cho DCB = 70^o và EBC = 40^o. F là giao điểm của DC và EB. Chứng minh rằng AF BC.

BÀI GIẢI

Vì A = 40^o và B = 60^o ==> C = 80^o. Vẽ thêm tam giác đều CFI ta có: CI = CF,  BCI = FCH = 10^o.

Chọn điểm H trên CA sao cho CH = CB, ta được HFC = BIC ==> HF = BI (1).

Từ trị số các góc đã cho trong giả thiết, ta tính được BFC = 70^o, vậy tam giác CBF cân và BC = BF, do đó BIC = BIF suy ra BI là phân giác CBF ==> IBC = FHC = 20^o.

Ta có HCI = BCF = 70^o, nên HCI = BCF ==> CHI = CBF = A = 40^o ==> HI // AB.

Ngoài ra HAB = IBA = 40^o, vậy AHIB là hình thang cân ==> AH = BI    (2).

Từ (1) và (2) ta có AHF là tam giác cân và FHC = 2 FAH, suy ra FAH = 10^o.

Vậy AKC = 90^o ==> AF BC.

:: Bài 26

Cho tam giác ABC, gọi: a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt; m(c) là độ dài đường trung tuyến phát xuất từ đỉnh C. Chứng minh: ½ (a+b-c) < mc < ½ (a+b).

(For elements of triangle ABC as following: a, b, c are the lengths of sides BC, CA, AB, respectively; m(c) is the length of the median drawn from vertice C. Prove that: ½ (a+b-c) < mc < ½ (a+b)).

BÀI GIẢI

Lấy C1 là trung điểm của cạnh AB thì CC₁ + C₁A > CA và BC₁ + C₁C > BC (*). Cộng hai bất đẳng thức trên, ta có:  2CC₁ + BA > CA + BC ==> 2CC₁ > CA + BC - BA

Vậy: CC₁ > ½ (a+b-c).

Lấy điểm C' đối xứng với C qua C₁ thì CC₁ = C₁C' và BC' = CA. Vì : CC' < CB + BC' ==> 2CC₁ < CB + CA. Vậy: CC₁ < ½ (a+b).

(*) Xem ĐL 3 về Bất Đẳng Thức trong tam giác.

:: Bài 27

Chứng minh rằng trong một tam giác, tổng số chiều dài các trung tuyến nhỏ hơn chu vi và lớn hơn ¾ chu vi.

(Prove that in any triangle, the sum of the medians is less than the perimeter but greater than ¾ of the perimeter).

BÀI GIẢI

Gọi a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB và m_a, m_b, m_c là độ dài các đường trung tuyến phát xuất từ đỉnh A, B, C lần lượt. Trong bài trước, ta đã biết:

m_a < ½ (b + c)

m_b< ½ (a + c)

m_c< ½ (a + b)

Cộng vế, ta được:

m_a + m_b+ m_c< ½ (2a + 2b +2c) = a + b + c = chu vi

==> m_a + m_b+ m_c < chu vi

Gọi M là trọng tâm, ta có:

MA + MB > AB

MB + MC > BC

MC + MA > AC

Cộng vế, ta được:

2MA + 2MB +2MC > AB + BC +CA (1)

Theo tính chất của trọng tâm - giao điểm ba đường trung tuyến trong một tam giác, ta có:

MA = 2/3 m_a

MB = 2/3 m_b

MC = 2/3 m_c

Thế trị số vào (1): 2( 2/3 m_a+ 2/3 m_b + 2/3 m_c) > chu vi

hay: (m_a+ m_b + m_c) > ¾ chu vi.

Vậy: ¾ chu vi < m_a + m_b + m_c< chu vi

:: Bài 28

Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c. Chứng minh: a2 + b2+ c2 < 2(ab + bc + ca)

(a, b, c are the lengths of the sides of an arbitrary triangle. Prove that: a2 + b2+ c2 < 2(ab + bc + ca)

BÀI GIẢI

a, b, c là các cạnh tam giác, nên a, b, c > 0 . Ta có:

a < b + c suy ra a² < a(b + c) = ab + ac

b < a + c suy ra b² < b(a + c) = ab + bc

c < a + b suy ra c² < c(a + b) = ac + bc

Sau khi cộng ta có: a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

:: Bài 29

Trong tam giác ABC, AC > BC, CM là trung tuyến và CH là đường cao kẻ từ C. Tính góc MCH nếu ACM và BCH cùng bằng 17^o.

(In ABC, AC > BC, CM is the median, and CH is the altitude emanating from C, as shown in the figure on the left. Determine the measure of MCH if ACM and BCH each have measure 17^o).

(USA Mathematical Talent Search, Round 2 - Year 11 - Academic Year 1999 - 2000)

BÀI GIẢI

Cách 1:

Theo giả thiết, M là trung điểm của AB. Nếu kẻ từ M một đường thẳng góc với AB cắt BC nối dài tại K, thì KM cũng là đường phân giác của tam giác cân KAB ==> AKM = BKM = BCH = 17^o ==> AKM = ACM.

Điều này chứng tỏ tứ giác AKCM nội tiếp.

Suy ra: KCA = KMA = 90^o ==> ACB = 90^o.

Vậy: MCH = 56^o.

Cách 2: - Vẽ tam giác cân BCI với đường cao CE. Vậy CE cũng là trung tuyến.

Suy ra ME // AC, ME cắt BC tại F

Vậy F cũng là trung điểm BC

Có CMF = MCA= 17^o.

Tam giác CHF cân  ==> FHC = HCB = 17^o

Vậy MCFH là tứ giác nội tiếp ==> FMH = FCH = 17^o ( cùng chắn cung FH)

==> CMH = 34^o. Vậy MCH = 56^o

(Solution by Đinh Cao Phạn)

:: Bài 30

Cho tứ giác lồi ABCD với điều kiên: AB + BD <= AC + CD.. Chứng minh: AB < AC.

BÀI GIẢI

Gọi K là giao điểm hai đường chéo.

Ta có: AB < AK + BK

CD < KC + KD

Cộng vế: AB + CD < (AK + KC) + (BK + KD)

hay: AB + CD < AC + BD (1)

Theo giả thiết : AB + BD <= AC + CD (2)

Cộng (1) và (2):

2AB + CD + BD < 2AC + BD + CD

Vậy: AB < AC

T. V. Phê & Nguyễn Tin