22-5-2011 | KHOA HỌC

Giải Bài Tập Hình Học từ 31 đến 40

  T. V. PHÊ & NGUYỄN TIN

31   32   33   34   35   36   37   38   39   40

:: Bài 31

Điểm P nằm trên vòng tròn ngoại tiếp với tam giác ABC. BP cắt AC ở X và CP cắt AB ở Y. Q là giao điểm thứ hai của hai vòng tròn ngoại tiếp với tam giác ABC và AXY. Chứng minh rằng PQ cắt XY tai trung điểm.

(Let P be a point on the circumcircle of ABC, distinct from A, B, and C. Suppose BP meets AC at X, and CP meets AB at Y. Let Q be the point of intersection of the circumcircles of ABC and AXY, with Q A. Prove that PQ bisects the segment XY. (The various points of intersection may occur on the extensions of the segments.))

BÀI GIẢI

PQ cắt XY tai M và cắt vòng ngoại tiếp tam giác AXY tai N thì tứ giác NYPX là hình bình hành. Thật vậy, ta có:

NYA = NQA (chắn cung NA)

NQA = PBA (chắn cung PA)

Vậy NYA = PBA, chứng tỏ NY // PX (1)

Ngoài ra: YPN = QPC (góc đối đỉnh)

QPC = QAC (chắn cung QC)

QAC = QNX (chắn cung QX)

Vậy YPN = QNX, chứng tỏ YP // NX (2)

Từ (1) và (2) suy ra NYPX là hình bình hành. Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên:

M là trung điểm của XY.

:: Bài 32

Cho tam giác cân ABC. Từ trung điểm D của BC,kẻ đường thẳng góc DE với AC. F là trung điểm của DE. Chứng minh rằng BE thẳng góc với AF.

(ABC is an isosceles triangle. Drop a perpendicular from the midpoint D of the base BC onto the leg AC and denote the foot of the perpendicular by E. The midpoint of the line segment DE is F. Show that the lines BE and AF are perpendicular.)

(April 2006 B. 3904. http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200604&t=mat&l=en)

BÀI GIẢI

Cách 1:

Hai tam giác đồng dạng EAD và EDC

==> ED / AD = EC / DC.

Suy ra : 2DF / AD = 2EC / BC ( vì AD = BC/2)

Vây: DF / AD = EC / BC ==> DFA ~ ECB.

Suy ra DAF = EBC, vì DA BC,

vậy AF BE.

Cách 2:

Gọi K là trung điểm EC,

suy ra DK // BE và KF // BC (đường trung bình)  

==>  KF AD (do AD BC trong tam giác cân).

Xét ADK có DF, KF là đường cao, nên AF cũng là đường cao.

Vậy AF  DK. Do đó: AF BE.  

(Solution by Đinh Cao Phạn)

:: Bài 33

Chứng minh rằng, nếu trung tuyến AM của ABC chia BAC theo tỷ lệ 1:2 và AM kéo dài đến D sao cho DBA vuông, thì AC = ½ AD.

(Prove the following; if, in ABC, median AM isuch that BAC is divided in the ratio 1:2, and AM is extended through M to D so that DBA is a right angle, then AC = ½ AD.

(Challenging Problems in Geometry, Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind))

BÀI GIẢI

Trên AD, chọn điểm N sao cho AM = MN. Tứ giác ABNC có hai đường chéo AN và BC giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên ABNC là hình bình hành.

Vậy BN = AC và BNM = CAM.  (1)

Lấy trung điểm I của AD thì BI là trung tuyến của tam giác vuông ABD nên BI = ½ AD,

và BIA cân ==> IBA = IAB.

Ta có: BIN = IBA + IAB = 2 IAB = CAM (giả thiết). (2)

Từ (1) và (2) suy ra BNM = BIN ==> BNI cân ==> BI = BN = AC. Vậy: AC = ½ AD

:: Bài 34

Chứng minh rằng tổng số độ dài từ một điểm bất kỳ trên cạnh của hình chữ nhật kẻ thẳng góc đến hai đướng chéo là một hằng số.

(Prove that the sum of the measures of the perpendiculars from any point on a side of a rectangle to the diagonals is constant.

(Challenging Problems in Geometry, Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind))

BÀI GIẢI

Lấy điểm P trên cạnh AB của hình chữ nhật ABCD. PQ và PR thẳng góc với hai đường chéo. Vẽ AJ DB và PH AJ thì PHJR cũng là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) ==> PR = HJ (1).

Hình chữ nhật ABCD cho ta AE = EB nên PAK = ABE.

Vì PH // BJ ==> APK = ABE (góc đồng vị),

suy ra PAK = APK chứng tỏ AKP cân ==> AK = PK.

Ngoài ra AKH = PKQ (góc đối đỉnh) và HAK = QPK (góc có cạnh thẳng góc), vậy hai tam giác AKH và PKQ bằng nhau, suy ra PQ = AH (2).

Từ (1) và (2) cho ta: PQ + PR = AH + HJ = AJ. Vậy:  PQ + PR = hằng số.

:: Bài 35

Cho ABC . Đường thẳng góc kẻ từ đỉnh A, C, B găp đường thẳng xuyên qua trọng tâm G của tam giác tại X, Y, Z lần lượt. Chứng minh: CY = AX + BZ.

(In any ABC, XYZ is any line through the centroid G. Perpendiculars are drawn from each vertex of ABC to this line. Prove CY = AX + BZ.

(Challenging Problems in Geometry, Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind))

BÀI GIẢI

Từ E và M, trung điểm của CG và AB, kẻ EP và MQ thẳng góc với XZ. Ta sẽ có: GMQ = GEP và GM = GE (tính chất đường trung tuyến), vậy hai tam giác vuông QGM và PGE bằng nhau ==> MQ = EP.

Ta có AX // BZ và M, G là trung điểm của AB và XZ nên MQ là đường trung bình của hình thang AXZB; vậy MQ = ½ (AX + BZ).

Vì MQ = EP = ½ CY ==> CY = AX + BZ.

:: Bài 36

Vẽ các vòng tròn đường kính OA, OB, OC bằng nhau. Chứng minh rằng diện tích phần cong B'C'BA' tạo bởi các cung của chúng (không kể điểm O) bằng nửa diện tích tam giác ABC.

(On three segments OA, OB and OC of the same length circles are constructed as on diameters. Prove that the area of the curvilinear triangle bounded by the arcs of these circles and not containing point O is equal to a half area of the (common) triangle ABC)

BÀI GIẢI

Ta có OA'B = OA'C = 90^o (nội tiếp trong nửa vòng tròn), vậy B, A', C thẳng hàng. Tương tự, AC'B và AB'C cũng thẳng hàng.

Hai tam giác vuông OA'B và OA'C có OA' chung và cạnh huyền OB = OC nên bằng nhau, do đó BA' = A'C; vậy A' là trung điểm của BC.

Tương tự, C', B' cũng là trung điểm của AB và AC, suy ra: BA' = C'B' và BC' = A'B'.

Hai dây cung bằng nhau BA' và C'B' cắt hai vòng tròn có cùng độ dài đường kính thành hai hình với diện tích bằng nhau: S_(BA'A'B) = S_(C'B'B'C').

Tương tự với hai dây cung BC' và A'B' cắt hai vòng tròn trên thành hai hình : S_(BC'C'B) = S_(A'B'B'A').

Do vậy diện tích phần cong B'C'BA' bằng diện tích hình bình hành B'C'BA' nên bằng nửa diện tích tam giác ABC. S_(B'C'BA') = ½ S_(ABC) 

:: Bài 37

Cho tam giác ABC, góc C vuông, với BD = BC, AE = AC, EF BC, DG AC. Chứng minh rằng: DE = EF + DG.

(In right ABC, with right angle at C, BD = BC, AE = AC, EF BC, DG AC. Prove that DE = EF + DG.

(Challenging Problems in Geometry, Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind))

BÀI GIẢI

Vẽ CP AB, nối CD và CE.

Theo giả thiết: AE = AC ==> ACE cân ==> ACE = CEP

Vì AC // EF ==> ACE = CEF (góc so le trong) nên CEP = CEF, chứng tỏ hai tam giác vuông CPE và CFE bằng nhau, suy ra EP = EF.

Chứng minh tương tự, ta có CPD = CGD ==> DP = DG.

Vì DE = DP + PE, nên DE = EF + DG.

:: Bài 38

Cho hình thang ABCD với hai đường chéo AC và DB cắt nhau tại P. Đường trung tuyến AM của tam giác ADC cắt DB ở E. Qua E kẻ đường thẳng song song với DC cắt AD, AC, BC lần lượt ở H, F, G. Chứng minh rằng HE = EF = FG.

(In trapezoid ABCD (AB // DC), with diagonals AC and DB intersecting at P, AM, a median of ADC, intersects BD at E. Through E, a line is drawn parallel to DC cutting AD, AC, and BC at points H, F, and G, respectively. Prove that HE = EF = FG.

(Challenging Problems in Geometry, Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind))

BÀI GIẢI

HE // DM ==> AHE ~ ADM

==> HE / DM = AE / AM  (1)

EF // MC ==> AEF ~ AMC

==> EF / MC = AE / AM (2)

Từ (1) và (2) ta có HE / DM = EF / MC.

Vì DM = MC ==> HE = EF.

EG // DC ==> BEG ~ BDC

==> EG / DC = BG / BC (3)

AB // EG // MC ==> AE / AM = BG / BC (4)

Từ (2), (3) và (4) ta có EF / MC = EG / DC.

Vì MC = ½ DC nên EF = ½ EG ==>  EF = FG. Vậy: HE = EF = FG.

:: Bài 39

Cho tam giác ABC với AB > AC và BAC = 60^o. Đường thẳng nối tâm O của vòng tròn ngoại tiếp và trực tâm H tam giác ABC gặp AB tại P và AC tại Q. Chứng minh rằng PO = HQ.

(Let ABC be an acute-angled triangle with AB > AC and BAC = 60^o. Denote the circumcenter by O and the orthocenter by H and let OH meet AB at P and AC at Q. Prove that PO = HQ. (British Mathematical Olympiad 2007 Round 2))

BÀI GIẢI

Ta đã biết tâm O, trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC là ba điểm của đường Euler với GH = 2 GO.

(http://agutie.homestead.com/files/center/nine_point_center_euler.html).

Gọi M là trung điểm của BC ==> OM BC nên OM // AH, vậy GHA ~ GOM, ta được tỷ số: GH / GO = HA / OM.

Vì GH = 2GO nên AH = 2OM.

OM cắt vòng ngoại tiếp ABC tại điểm giữa N của cung BC. Theo giả thiết BAC= 60^o, vậy BON = 60^o, chứng tỏ tam giác cân BON là tam giác đều và đường cao BM cũng là trung tuyến, ==> ON = 2OM, suy ra AH = ON = R.

Vậy tứ giác ONHA là hình thoi ==> IO = IH và AN OH.

AI là phân giác của PAQ, vừa là đường cao nên PAQ là tam giác cân, vậy AI cũng là trung tuyến ==> IP = IQ. Từ đó suy ra PO = HQ.

:: Bài 40

Hai điểm K, L chia đoạn thẳng AB theo tỷ lệ: AL² = AK . AB. Vẽ đoạn thẳng AP = AL. Chứng minh rằng PL là phân giác của KPB.

(A line segment AB is divided by points K and L in such a way that AL² = AK . AB. A line segment AP is drawn congruent to AL. Prove that PL bisects KPB. (Challenging Problems in Geometry, Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind))

BÀI GIẢI

Theo giả thiết AP = AL nên AL² = AK . AB = AP²

==> AK/AP = AP/AB ==> AKP ~ APB.

Suy ra APK = ABP = LBP.

Vì AP = PL ==> APL cân  

==> ALP = APL =  APK + KPL (1)

Định lý về góc ngoài của LBP

==> ALP = LBP + LPB = APK + LPB (2)

So sánh (1) và (2) ta có KPL = LPB. Vậy:  PL là phân giác của KPB.

T. V. Phê & Nguyễn Tin